Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，且

anam

=4a₁，则6（

1

m

+

1

n

）的最小值为（　　）

• A、

  2

  3

• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：先根据等比数列的性质和已知等式求得公比q，然后利用

anam

=4a₁，求得m+n的值，最后利用基本不等式求得6（

1

m

+

1

n

）的最小值．

解答： 解：∵q²a₂₀₁₀=q•a₂₀₁₀+2a₂₀₁₀，
∴q²=q+2，解得q=2或-1（舍去），

anam

=a₁•q

n+m-2

2

=4a₁，
∴2

n+m-2

2

=2²，
∴m+n=6，
∴6（

1

m

+

1

n

）=6•

m+n

mn

=

24

mn

≥

24×4

(m+n)2

=6，当且仅当m=n=2时，等号成立．
故选C．

点评：本题主要考查了基本不等式的应用，等比数列的性质．解题的关键是求得m+n的值．