Question

已知A、B、C是直线l上的不同三点，O是l外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

=(

3

2

x2+1)

OB

-(lnx-y)

OC

，记y=f（x）；
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）直接利用结论：A、B、C是直线l上的不同三点，则

OA

=λ

OB

+(1-λ)

OC

，得(

3

2

x2+1)+(lnx-y)=1，整理即可求出函数y=f（x）的解析式；
（2）先求出其导函数．利用导函数与原函数单调性的关系来求单调区间即可．（注意是在定义域内）．

解答：解：（1）∵

OA

=(

3

2

x2+1)

OB

-(lnx-y)

OC

，且A、B、C是直线l上的不同三点，
∴(

3

2

x2+1)-(lnx-y)=1，∴y=

3

2

x2-lnx；（6分）
（2）∵f(x)=

3

2

x2-lnx，
∴f′(x)=3x-

1

x

=

3x2-1

x

，（8分）
∵f(x)=

3

2

x2-lnx的定义域为（0，+∞），而f′(x)=

3x2-1

x

＞0，可得x＞

3

3

∴y=f（x）在（

3

3

，+∞）上为增函数，在（0，

3

3

）是减函数，即y=f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调递减区间是（0，

3

3

）．（12分）

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及利用导函数研究原函数的单调性，是对向量向量知识和函数知识的综合考查属于中档题目．