Question

已知A、B、C是直线l上不同的三点，O是l外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

．记y=f（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f'（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围：
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=2x+b在（0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，结合A、B、C是直线l上不同的三点，即可求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，原不等式为|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，分别求出对应函数的最小值与最大值，即可求得结论；
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b变形为ln(2+3x)+

3

2

x2-2x=b，研究左边对应函数的最值，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）向量

OA

，

OB

，

OC

满足：

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

．
∴

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C是直线l上不同的三点
∴(

3

2

x2+1)+[ln(2+3x)-y]=1
∴y=ln(2+3x)+

3

2

x2
∴f（x）=ln(2+3x)+

3

2

x2；
（Ⅱ）∵f′(x)=

3

2+3x

+3x，∴原不等式为|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0．
得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，①…（4分）
设g(x)=lnx-ln

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

，h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

，
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，
∵g′(x)=

3

2x+3x2

•

1

3

(2+6x)=

2+6x

2x+3x2

＞0，h′(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0，
∴g（x）与h（x）在[

1

6

，

1

3

]上都是增函数，要使不等式①成立，
当且仅当a＜g(

1

6

)或a＞h(

1

3

)，∴a＜ln(

5

36

)，或a＞ln

1

3

．…（8分）
（Ⅲ）方程f（x）=2x+b即为ln(2+3x)+

3

2

x2=2x+b，
变形为ln(2+3x)+

3

2

x2-2x=b．
令φ(x)=ln(2+3x)+

3

2

x2-2x，x∈(0，1]，
∴φ′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x-1)(3x+1)

2+3x

…（10分）
列表写出x，φ'（x），φ（x）在[0，1]上的变化情况：

x	0	（0， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1
?φ'（x）		小于0	0	大于0
?φ（x）	ln2	单调递减	取极小值ln3- 1 2	单调递增	ln5- 1 2

…（12分）
显然φ（x）在（0，1]上的极小值也即为它的最小值ln3-

1

2

．
现在比较ln2与ln5-

1

2

的大小；
∵ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0，∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在（0，1]上恰有两个不同的实根，必须使ln3-

1

2

＜b＜ln2．
即实数b的取值范围为ln3-

1

2

＜b＜ln2．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查向量知识，考查函数的单调性与最值，考查函数与方程思想，属于中档题．