Question

已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量

OA

、

OB

、

OC

满足：

OA

=λ

OB

+μ

OC

，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三点共线且有

OA

-(3x+1)•

OB

-(

3

2+3x

-y)•

OC

=

0

成立．记y=f（x），求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|-ln[f（x）-3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

OA

=(3x+1)•

OB

+(

3

2+3x

-y)•

OC

，根据A、B、C在同一条直线上，可得(3x+1)+(

3

2+3x

-y)=1，由此求得函数y=f（x）的解析式．
（2）原不等式|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，即 a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，利用单调性求出lnx-ln

3

2+3x

的最小值和lnx+ln

3

2+3x

的最大值，
即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵

OA

-(3x+1)•

OB

-(

3

2+3x

-y)•

OC

=

0

，
∴

OA

=(3x+1)•

OB

+(

3

2+3x

-y)•

OC

，（1分）
又∵A、B、C在同一条直线上，∴(3x+1)+(

3

2+3x

-y)=1…（2分），
y=

3

2+3x

+3x，即f(x)=

3

2+3x

+3x，…（5分）
（2）∵f(x)=

3

2+3x

+3x，
∴原不等式为|a-lnx|-ln(

3

2+3x

)＞0，
得a＜lnx-ln

3

2+3x

，或a＞lnx+ln

3

2+3x

，…（8分）
设g(x)=lnx-ln

3

2+3x

=ln

2x+3x2

3

，h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

，…（10分）
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上恒成立，∵g（x）与h（x）在[

1

6

，

1

3

]上都是增函数，…（12分）
∴要使不等式①成立，当且仅当a＜g(

1

6

)或a＞h(

1

3

)，
即a＜ln

5

36

，或a＞ln

1

3

，…（14分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．