Question

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；       
（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）先求解定义域，然后对于参数a进行讨论得到单调性的问题。
（2）由于不等式恒成立只要证明是单调增函数即可，因此利用构造函数的思想来证明得到。
解：(1)的定义域为。
    2分
（i）若即,则

故在单调增加。        3分
(ii)若,而,故,则当时，;
当及时，
故在单调减少，在单调增加。    4分
(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.          6分
(II)考虑函数

则
由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分