Question

5．已知点P（x，y）在圆x²+y²-4x-2y+4=0上，则$\frac{y}{x}$的最大值和最小值分别是$\frac{4}{3}$，0．

Answer 1

分析 根据圆的标准方程求出圆心和半径，根据直线的斜率公式，则$\frac{y}{x}$表示圆上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率k，再利用点到直线的距离公式，求得k的范围，可得结论．

解答 解：圆x²+y²-4x-2y+4=0，即圆（x-2）²+（y-1）² =1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆．
则$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$表示圆上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率k，
设圆的切线方程为y=kx，即kx-y=0，由圆心到切线的距离等于半径，
可得$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=0或 k=$\frac{4}{3}$，故k的最大值为$\frac{4}{3}$，最小值为0，
故答案为：$\frac{4}{3}$，0．

点评 本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式，点到直线的距离公式，属于基础题．