Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最小值为g（t），求g（t）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接利用数量积的坐标表示求得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；再把两向量的坐标作和后代入模的计算公式求得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（Ⅱ）把$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|代入f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，配方后分类讨论求得最小值为g（t）．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3}{2}$x，sin$\frac{3}{2}$x），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），得
$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3}{2}xcos\frac{x}{2}-sin\frac{3}{2}xsin\frac{x}{2}=cos2x$，
|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{4{{cos}^2}x}=2cosx$；
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-2t|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=cos2x-4tcosx=2（cosx-t）²-2t²-1（0≤cosx≤1）．
当t＜0时，若cosx=0，有f（x）_min=-1；
当0≤t≤1时，若cosx=t，有$f{（x）_{min}}=-2{t^2}-1$；
当t＞1时，若cosx=1，有f（x）_min=1-4t．
∴$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-1\;\;（t＜0）\;\\-1-2{t^2}\;（0≤t≤1）\\ 1-4t\;\;（t＞1）\end{array}\right.$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数中的恒等变换应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．