Question

已知函数在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当，且时，.

Answer 1

（1），；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）利用已知条件得到两个条件：一是切线的斜率等于函数在处的导数值，二是切点在切线上也在函数的图象上，通过切点在切线上求出的值，然后再通过和的值列有关、的二元一次方程组，求出、的值；（2）解法1是利用参数分离法将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立，并构造函数，从而转化为，并利用导数求出函数的最小值，从而求出的取值范围；解法2是构造新函数，将不等式在区间上恒成立问题转化为不等式在区间上恒成立问题，等价于利用导数研究函数的单调性，对的取值进行分类讨论，通过在不同取值条件下确定函数的单调性求出，围绕
列不等式求解，从而求出的取值范围；（3）在（2）的条件下得到，在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到，然后分别令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.
试题解析：（1），.
直线的斜率为，且过点，
，即解得，；
（2）解法1：由（1）得.
当时，恒成立，即，等价于.
令，则.
令，则.
当时，，函数在上单调递增，故.
从而，当时，，即函数在上单调递增，
故.
因此，当时，恒成立，则.
所求的取值范围是；
解法2：由（1）得.
当时，恒成立，即恒成立.
令，则.
方程（*）的判别式.
（ⅰ）当，即时，则时，，得，
故函数在上单调递减.
由于，
则当时，，即，与题设矛盾；
（ⅱ）当，即时，则时，.
故函数在上单调递减，则，符合题意；
（ⅲ）当，即时，方程（*）的两根为，，
则时，，时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减，
从而，函数在上的最大值为.
而，
由（ⅱ）知，当时，，
得，从而.
故当时，，符合题意.
综上所述，的取值范围是.
（3）由（2）得，当时，，可化为，
又，从而，.
把、、、、分别代入上面不等式，并相加得，

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