Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n=

1

3

（a_n-1+2a_n-2）（n=3，4，…）．数列{b_n}满足b₁=1，b_n（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=na_nb_n（n=1，2，…），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

3

(an-1-an-2)得an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)（n≥3），所以an+1-an=(-

2

3

)n-1，再用累加法求出a_n，再由n的奇偶性进行讨论知b_n．
（2）cn=nanbn=

8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1 - 8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1

，再由n的奇偶性分别计算数列{c_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由an=

1

3

(an-1-an-2)得an-an-1=-

2

3

(an-1-an-2)（n≥3）
又a₂-a₁=1≠0，
∴数列{a_n+1-a_n}是首项为1公比为-

2

3

的等比数列，an+1-an=(-

2

3

)n-1
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）
=1+1+(-

2

3

)+(-

2

3

)2+…+(-

2

3

)n-2
=1+

1-(- 2 3 )n-1

1+ 2 3

=

8

5

-

3

5

(-

2

3

)n-1，
当n为奇数时当n为偶数时
由

-1≤b1+b2≤1 -1≤b2≤1 b2∈Z，b2≠0

得b₂=-1，
由

-1≤b2+b3≤1 -1≤b3≤1 b3∈Z，b3≠0

得b₃=1，
同理可得当n为偶数时，b_n=-1；当n为奇数时，b_n=1；
因此bn=

1，n为奇数 -1，n为偶数

．
（2）cn=nanbn=

8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1 - 8 5 n- 3 5 n( 2 3 )n-1

S_n=c₁+c₂+c₃+c₄+…+c_n
当n为奇数时，Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+…+

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]=

4(n+1)

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]
当n为偶数时
Sn=(

8

5

-2×

8

5

+3×

8

5

-4×

8

5

+-

8

5

n)-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]=-

4n

5

-

3

5

[1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1]
令Tn=1×(

2

3

)0+2×(

2

3

)1+3×(

2

3

)2+4×(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n-1①
①×

2

3

得：

2

3

Tn=1×(

2

3

)1+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+4×(

2

3

)4+…+n(

2

3

)n②
①-②得：

1

3

Tn=1+(

2

3

)1+(

2

3

)2+(

2

3

)3+(

2

3

)4+…+(

2

3

)n-1-n(

2

3

)n=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

-n(

2

3

)n=3-(3+n)(

2

3

)n
∴Tn=9-(9+3n)(

2

3

)n
当n为奇数时当n为偶数时
因此Sn=

4n-23 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n - 4n+27 5 + 9(n+3) 5 ( 2 3 )n

点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用，尤其是在求值时要重视对n的奇偶性的讨论．