Question

【题目】已知空间几何体中， 与均为边长为的等边三角形， 为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)取中点，取中点，连结，则即为所求.

取中点，连结，则，由线面垂直的性质定理可得平面，同理可证平面，则平面.结合几何关系可得平面.故平面平面， 平面.

(Ⅱ)连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，结合几何关系可得， ， . .

试题解析：

（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求.

证明：取中点，连结，

∵为腰长为的等腰三角形， 为中点，

∴，

又平面平面，

平面平面， 平面，

∴平面，

同理可证平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 分别为， 中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面.

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面.

（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，

由（Ⅰ）可知平面，

所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.

又是边长为的等边三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又为中点，∴，

又， ，∴.

∴ .