Question

【题目】已知抛物线： 的焦点为，圆： ，过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且的面积为.

（1）求抛物线的方程和圆的方程；

（2）若直线、均过坐标原点，且互相垂直， 交抛物线于，交圆于， 交抛物线于，交圆于，求与的面积比的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 抛物线方程为： ,圆方程为： (2) 当时， 与的面积比的取到最小值4.

【解析】试题分析：（1）先求得的坐标，可得，由的面积为，可得，从而可得抛物线的方程，进而可得圆的方程；（2）设的方程为，

则方程为.由得=0，或 同理可求得.

根据弦长公式及点到直线距离公式可得， ，从而，利用基本不等式可得结果.

试题解析：（1）因为抛物线焦点F坐标为 , 则，

联立 ∴或，

故，

∴，

即，

∴抛物线方程为： .

圆方程为： ，

（2） 显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，

则方程为.(注:末说明斜率不给分)

由得=0，或 同理可求得.

则

.

设到、的距离分别为、，

则； .

则.

∴.

当且仅当时， 与的面积比的取到最小值4.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积比的最值的.