Question

【题目】已知函数， ，其中是自然常数.

(1)判断函数在内零点的个数，并说明理由；

(2) ， ，使得不等式成立，试求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导， ，得到函数在上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（2）不等式等价于，即，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值， 取得最小值，故只需要,解出即可.

解析：

(1)函数在上的零点的个数为1，理由如下：

因为，所以，

因为，所以，所以函数在上单调递增.

因为， ，根据函数零点存在性定理得函数在上存在1个零点.

(2)因为不等式等价于，

所以， ，使得不等式成立，等价于

，即，

当时， ，故在区间上单调递增，

所以当时， 取得最小值，又，

当时， ， ， ，所以，故函数在区间上单调递减.

因此，当时， 取得最大值，所以，所以，

所以实数的取值范围为.