Question

（本小题满分12分）在几何体ABCDE中，∠BAC=，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中点，AB=AC=BE=2，CD=1

（Ⅰ）求证：DC∥平面ABE；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求证：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

(Ⅰ) 先证DC//EB，再推出DC∥平面ABE；
(Ⅱ)证DC⊥AF，进一步AF⊥平面BCDE。
(Ⅲ)由(2)推出AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，计算DF=,EF=,DE=
证明EF⊥平面AFD，推出平面AFD⊥平面AFE．

解析试题分析：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC//EB，
又∵DC平面ABE，EB平面ABE，
∴DC∥平面ABE………………………………………………（4分）
(Ⅱ)∵DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，DC交BC于C
∴AF⊥平面BCDE……………………………………（8分）
(Ⅲ)由(2)知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在直角梯形BCDE中，计算DF=,EF=,DE=
在三角形DEF中DF⊥EF，AF⊥EF，DF交AF于F
∴EF⊥平面AFD，又EF平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．…………………………………………（12分）
考点：本题主要考查立体几何中线面平行与垂直的证明。
点评：典型题，立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题，本题难度不大，注意牢记定理巧妙地实现线线关系、线面关系及面面关系的相互转化。