Question

【题目】已知函数．

（1）证明：；

（2）设，在上的极值点从小到大排列为，求证：时，．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析

【解析】

（1）利用导数求得的最大值；

（2），的极值点就是的零点，

计算出，，在区间上，，无零点，，在区间上，由得是减函数，双由，，知有一个零点，由此可得在和上各有一个零点，也即在只有两个零点，小的记为，在的记为，且，由零点得证得，结合正弦函数的性质及、的范围可证得题设不等式成立．

（1）时，，

故在上是减函数，

所以；

（2），

故，

令，，，

在区间上，，

故在上仅有1个零点，设为，

在上，为增函数，

，

故在上仅有1个零点，

故在上仅有1个零点，设为；

在上，为减函数，

，

故在上仅有1个零点，

故在上仅有1个零点，设为，

又在区间上，无零点，

故在一个区间上，有两个零点，

且，

，，

而，

又与，

可得：

∴．