Question

【题目】（1）已知数列的通项公式：，试求最大项的值；

（2）记，且满足（1），若成等比数列，求p的值；

（3）如果，，，且p是满足（2）的正常数，试证：对于任意自然数n，或者都满足，，或者都满足，．

Answer 1

【答案】（1）4（2）（3）见解析

【解析】

（1）先确定数列单调性，再求最大项的值；

（2）先写出前三项，再根据等比中项性质求出p的值，最后再根据等比数列定义进行论证；

（3）利用数学归纳法证明.

（1）单调递减，所以最大项为；

（2）

所以前三项为

因此

当时，，即成等比数列；

当时，，即成等比数列；

综上

（3）

因为，，所以当时，；

当时，；即当时，结论成立；

假设当时，结论成立；即，，或者，．

当时，，

或者

，即当时，结论成立；

综合可得对于任意自然数n，或者都满足，，或者都满足，．