Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，点在线段上，，是线段的中点，且三棱锥的体积是四棱锥体积的.

（1）若是的中点，证明：平面平面；

（2）若平面，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，根据面面平行的判定定理，即可得出结果；

（2）建立以为坐标原点，，，的方向为，，轴正方向的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.

（1）连接交于点，连接，

由题可知：由可知：，则，

所以，且，且，

所以平面平面；

（2）建立以为坐标原点，，，的方向为，，轴正方向的空间直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，则有，

即，令，则

同理：平面的一个法向量

所以，

所以二面角的正弦值为.