Question

【题目】已知数列满足，，.

（1）若，写出所有可能的值；

（2）若数列是递增数列，且、、成等差数列，求p的值；

（3）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）；（3）.

【解析】

（1）由，，，分别取、、即可得出的所有可能取值；

（2）由数列是递增数列，得出，且有，得出、关于的表达式，然后利用、、成等差数列得出关于的方程，解出即可；

（3）由数列是递增数列得出，可得，但，可得出，可得出，由数列为递减数列，同理可得，进而得到，再利用累加法可求出数列的通项公式.

（1）当时，，则，，或.

当时，或；当时，或；当时，或.

因此，的所有可能取值有、、、；

（2）数列是递增数列，则，则，，

，同理得，

由于、、成等差数列，则，即，

整理得，，解得；

（3）数列是递增数列，所以，

即①，

但，所以②，

由①②知，，所以③.

数列是递减数列，同理可得，

所以④，

由③④知，.

由累加法得.