Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）直线上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）.（3）存在，.

【解析】

（1）根据直角梯形可得，再根据即可得出平面，于是平面平面；

（2）为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算；

（3）连接交于，过作，可得平面，利用相似三角形即可得出的长.

（1）证明：四边形是直角梯形，，

∴，，

∵平面，平面，

∴，又平面，

∴平面，又平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可知平面，

∴，，

∴为二面角的平面角，

∵，，

∴，

∴.

∴二面角的余弦值为.

(3)连接交于，过作交于，连接，.

则平面.

∵，∴，

又，∴，

∴.

所以直线上是否存在一点，使得平面，且.