Question

已知函数f（x）=x²+ax+b的值域为[4，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为

13

．

Answer 1

分析：由于函数f（x）=x²+ax+b的值域为[4，+∞），所以f（x）-4≥0，得到△=0；再由f（x）＜c的解集为（m，m+6），得f（x）-c=0的根为m，m+6，由两根差的绝对值可得一等式，从而联立方程组解得c值．

解答：解：因为函数f（x）=x²+ax+b的值域为[4，+∞），所以x²+ax+b-4≥0，
所以△=a²-4（b-4）=0，即a²-4b+16=0①
又f（x）＜c的解集为（m，m+6），所以f（x）-c=x²+ax+b-c=0的根为m，m+6．
令x₁=m，x₂=m+6，则|x₁-x₂|=6，故(x1+x2)2-4x₁x₂=36．
即a²-4（b-c）=36．②
联立①②解得c=13．
故答案为：13．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，分析问题及解决问题的能力．