Question

已知函数f(x)=kx3-3x2+1

&(k≥0，k∈R)

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一个元素．求正数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于最高次项系数是参数k，故对参数k的取值范围进行讨论，在每一类中求函数的导函数，解不等式求函数的单调区间；
（Ⅱ）集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一个元素．当k=0时显然不可以，当k＞0时，只需函数的极小值为正即可，有此关系建立参数k的不等式，解之即可．

解答：解：（I）①当k=0时，f（x）=-3x²+1∴f（x）的单调增区间为（-∞，0]，
单调减区间[0，+∞）．
②当k＞0时，f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），
于是f′(x)＜0?0＜x＜

2

k

；f′(x)＞0?x＜0或x＞

2

k

∴当k＞0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0]，[

2

k

，+∞），
单调减区间为[0，

2

k

]．
（Ⅱ）有题知k＞0，且题设等价于函数f（x）的极小值为正，
即f（

2

k

）=

8

k2

-

12

k2

+1＞0，即k²＞4，
结合k＞0，知k的取值范围为（2，+∞）．所以，实数k的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查函数单调区间的求法及分类讨论的思想，解答本题要注意正确转化题设中的条件，如在（II）中集合只有一个元素的转化，正确转化是正确解答的关键．