Question

【题目】已知方程表示一个圆．

（1）求实数的取值范围；

（2）求该圆半径的取值范围；

（3）求该圆心的纵坐标的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）利用方程表示圆的条件，建立不等式，即可求出实数的取值范围； （2）利用圆的半径，利用配方法结合（1）中实数的取值范围，即可求出该圆半径的取值范围；（3）根据，确定圆的圆心坐标，再消去参数，根据（1）中实数的取值范围，可求得圆心的纵坐标的最小值.

试题解析：（1）方程表示圆的等价条件是，即有，

解得．

（2）半径，解得．

（3）设圆心坐标为，则消去，得，

由于，所以，

故圆心的纵坐标， ，所以最小值是．

【方法点晴】本题主要考查圆的方程与性质以及解析几何求最值问题，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（3）就是用的这种思路，利用均值配方法求圆心的纵坐标的最小值.