Question

12．已知离心率为2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为$\sqrt{3}$，则抛物线的方程为（　　）

• A． y²=2x
• B． y²=3x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 求出双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为$\sqrt{3}$，列出方程，由此方程求出p的值，即可求出抛物线的方程．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±$\frac{b}{a}$x
又抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-$\frac{p}{2}$，
故A，B两点的纵坐标分别是$\frac{pb}{2a}$、-$\frac{pb}{2a}$，
又由双曲线的离心率为2，所以$\frac{c}{a}$=2，则$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
A，B两点的纵坐标分别是$\frac{\sqrt{3}p}{2}$、-$\frac{\sqrt{3}p}{2}$，
又△AOB的面积为$\sqrt{3}$，x轴是角AOB的角平分线
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}p$×$\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，得p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．
故选：C．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量．