Question

8．求证不等式：xlnx＞-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=xlnx，求出导数和单调区间，可得极小值，且为最小值；g（x）=-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$，配方求得最大值，比较即可得证，注意等号不成立．

解答 证明：由函数f（x）=xlnx，可得导数为
f′（x）=lnx+1，由f′（x）=0，可得x=$\frac{1}{e}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极小值，且为最小值-$\frac{1}{e}$；
又g（x）=-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$=-（x-1）²-$\frac{1}{e}$，
当x=1时，函数g（x）取得最大值-$\frac{1}{e}$．
由于最值的取得，不同时成立，
则xlnx＞-x²+2x-1-$\frac{1}{e}$成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求得最值，比较最值，考查运算能力，属于中档题．