Question

20．如图，在四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=AA₁=2，AC∩BD=O，E、F分别是线段A₁D、BC₁的中点，延长D₁A₁到点G，使得D₁A₁=AG．
（1）证明：GB∥平面DEF；
（2）求直线GD与平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间直角坐标系，根据各数量关系求出$\overrightarrow{GB}$和平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，只需证明$\overrightarrow{GB}⊥$$\overrightarrow{n}$即可得出GB∥平面DEF；
（2）求出$\overrightarrow{GD}$，计算cos＜$\overrightarrow{GD}，\overrightarrow{n}$＞，于是直线GD与平面DEF所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{GD}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 证明：（1）以O为坐标原点，分别以$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标O-xyz．
∵在菱形ABCD中，AB=AD=BC=2，∠ABC=120°，
∴BD=2，$AC=2\sqrt{3}$，O为AC和BD的中点．
又AA₁⊥平面ABCD，AA₁=2．
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），${A_1}（0，-\sqrt{3}，2）$，${C_1}（0，\sqrt{3}，2）$，D₁（-1，0，2）．
∵E、F分别是线段A₁D、BC₁的中点，
∴$E（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$F（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$．
∵$\overrightarrow{{D_1}{A_1}}=\overrightarrow{{A_1}G}$，∴$G（1，-2\sqrt{3}，2）$．
于是$\overrightarrow{ED}=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-1）$，$\overrightarrow{EF}=（1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{GB}=（0，2\sqrt{3}，-2）$．
设平面DEF的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{{\begin{array}{l}{n•\overrightarrow{ED}=0}\\{n•\overrightarrow{EF}=0}\end{array}}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y-z=0}\\{x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$．
令y=-1，得$x=\sqrt{3}$，$z=-\sqrt{3}$．∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，-$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{GB}•\overrightarrow{n}$=0，∴$\overrightarrow{GB}⊥\overrightarrow{n}$．
又GB?平面DEF，∴GB∥平面DEF．
（2）$\overrightarrow{GD}$=$（-2，2\sqrt{3}，-2）$，
∴$\overrightarrow{GD}•\overrightarrow{n}$=-2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{GD}$|=2$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{7}$．
∴cos＜$\overrightarrow{GD}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{GD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{GD}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
直线GD与平面BEF所成的角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{GD}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查了了线面平行的判定，可面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．