Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，则AC边上的中线BD的最小值$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出ac=6，|$\overrightarrow{BD}$|²=（$\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{3}ac}{4}$，利用基本不等式计算可得AC边上的中线BD的最小值．

解答 解：∵∠B=30°，△ABC的面积为$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}ac•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴ac=6
∴|$\overrightarrow{BD}$|²=（$\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+\sqrt{3}ac}{4}$≥$\frac{2ac+\sqrt{3}ac}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当a=c=$\sqrt{6}$时取等号，
∴AC边上的中线BD的最小值为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查余弦定理和基本不等式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．