Question

15．设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n，若a₁a₅=64，S₅-S₃=48．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），若 m=k+1且l=k+3，求证：5a_k，a_m，a_l可以按某种顺序构成等差数列；
（3）设数列{b_n}满足b_n=log₂$\frac{a_n^2}{2}$，若数列${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$的前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意和等比数列的性质先求出a₃，由等比数列的通项公式、前n项和的定义求出公比q，代入等比数列的通项公式化简即可；
（2）依题意5a_k，a_m，a_l这三项即为5a_k，2a_k，8a_k，进而可得结论；
（3）通过由（1）可知b_n2n-1，裂项可知${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加可得T_n=$\frac{n}{2n+1}$，进而可得结论．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比是q，
依题意，a₃=$\sqrt{{a}_{1}{a}_{5}}$=$\sqrt{64}$=8，
又∵S₅-S₃=48，
∴a₄+a₅=8q+8q²=48，
解得：q=2或q=-3（舍），
∴a_n=${a}_{3}•{q}^{n-3}$=2ⁿ；
（2）证明：依题意5a_k，a_m，a_l这三项为5a_k，a_k+1，a_k+3，即5a_k，2a_k，8a_k，
调整顺序后易知2a_k，5a_k，8a_k成等差数列；
（3）解：由（1）可知b_n=log₂$\frac{a_n^2}{2}$=2n-1，
∴${\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
显然T_n随着n的增大而增大，且$\underset{lim}{n→∞}$T_n=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$，
∴T_n的取值范围为[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查等差数列、等比数列的性质，考查计算化简、变形能力与逻辑推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．