Question

20．已知α、β∈（0，π），且cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=$\frac{3}{5}$，求sin2β的值．

Answer 1

分析 利用两角和差的三角公式化简所给的条件求得cosβ=-$\frac{3}{5}$．再根据 α、β∈（0，π），可得sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$的值，再利用二倍角的正弦公式取得 sin2β 的值．

解答 解：∵cos（2α+β）-2cos（α+β）cosα=[cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα]-2cos（α+β）cosα 
=-cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=-cos[（α-β）-α]=-cosβ=$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=-$\frac{3}{5}$．
再根据 α、β∈（0，π），可得sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$
∴sin2β=2sinβcosβ=2×$\frac{4}{5}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查两角和差的三角公式，以及二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．