Question

8．在△ABC中，∠A，B，C所对应的边分别为a，b，c，面积为S．
（1）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$≤2$\sqrt{3}$S，求A的取值范围；
（2）若tanA：tanB：tanC=1：2：3，且c=1，求b．

Answer 1

分析 （1）已知不等式左边利用平面向量的数量积运算法则变形，右边利用三角形面积公式化简，整理求出tanA的范围，即可确定出A的范围；
（2）由已知的比例式，设一份为x，表示出tanA，tanB，tanC，由A=π-（B+C），利用诱导公式得到tanA=-tan（B+C），再利用两角和与差的正切函数公式将等式右边进行变形，将表示出tanA，tanB，tanC代入，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为tanA的值，确定出tanB与tanC的值，进而求出sinB与sinC的值，由c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA，S=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴cbcosA≤$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$bcsinA，
若A为钝角或直角，显然成立；
若A为锐角，即tanA≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵A为三角形内角，
∴$\frac{π}{6}$≤A＜π；
（2）由tanA：tanB：tanC=1：2：3，设tanA=x，tanB=2x，tanC=3x，
∴tanA=tan[π-（B+C）]=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{5x}{1-6{x}^{2}}$=x，
整理得：x²=1，解得：x=1或x=-1，
∴tanA=1或tanA=-1（不合题意，舍去），
∴tanA=1，tanB=2，tanC=3，三个角为锐角，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+{3}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵c=1，
∴由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{1×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及运算法则是解本题的关键．