Question

16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，$\frac{2sinB-sinC}{sinA}$=$\frac{cosC}{cosA}$．
（1）求A；
（2）若a=6，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{15}{2}$，求b+c．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的正弦公式化简$\frac{2sinB-sinC}{sinA}=\frac{cosC}{cosA}$便得到2sinBcosA=sin（A+C），而sin（A+C）=sinB，从而得到cosA=$\frac{1}{2}$，这便得出A=$\frac{π}{3}$；
（2）进行数量积的运算便可得到bc=15，而由余弦定理便可得到36=b²+c²-15，从而得出b²+c²=（b+c）²-30=51，这样便可求出b+c．

解答 解：（1）根据条件：（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC；
∴2sinBcosA=sin（A+C）；
∴2sinBcosA=sinB；
∴$cosA=\frac{1}{2}$，0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）如图，
$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}bc=-\frac{15}{2}$；
∴bc=15；
又a=6，A=$\frac{π}{3}$，∴由余弦定理：36=b²+c²-15；
∴b²+c²=（b+c）²-30=51；
∴b+c=9．
故答案为：9．

点评 考查两角和的正弦公式，sin（π-α）=sinα，数量积的计算公式，以及余弦定理，完全平方式．