Question

4．已知函数$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）记△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且f（B）=$\frac{1}{2}$，a+c=1，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式整理后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性求出f（x）的单调递减区间即可；
（2）由f（x）解析式及f（B）=$\frac{1}{2}$，求出B的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosB及c=1-a代入，利用二次函数性质求出b²的范围，即可确定出b的范围．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵ω=2，∴T=π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，得到kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
函数f（x）的递减区间为[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵f（B）=$\frac{1}{2}$，∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，
∵B为三角形内角，
∴-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=a²+（1-a）²-a（1-a）=3（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
又a+c=1，∴0＜a＜1，
∴$\frac{1}{4}$≤b²＜1，
则b的范围为[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 此题考查了余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．