Question

9．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（-x+3），f（4）=1，则不等式f（x）＜e^x的解集为（　　）

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 确定y=f（x）的图象关于x=2对称，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：∵f（x+1）=f（-x+3），
∴f（x+2）=f（-x+2），
∴y=f（x）的图象关于x=2对称
∴f（4）=f（0）
又∵f（4）=1，∴f（0）=1
设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$
又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故选：D．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．