Question

1．已知函数f（x）=ax²+bx-a+2．
（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；
（2）若b=-1，解关于x的不等式$\frac{f（x）+x+a-2}{ax+b}$+bx＞0．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理可得-1+3=-$\frac{b}{a}$，且-1×3=$\frac{-a+2}{a}$，由此求得a、b的值．
（2）若b=-1，关于x的不等式即 $\frac{x}{ax-1}$＞0，即 x（ax-1）＞0，分类讨论求得x的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=ax²+bx-a+2，根据f（x）＞0的解集是（-1，3），
可得-1+3=-$\frac{b}{a}$，且-1×3=$\frac{-a+2}{a}$．
求得a=-1，b=2．
（2）若b=-1，关于x的不等式$\frac{f（x）+x+a-2}{ax+b}$+bx＞0，即 $\frac{{ax}^{2}-x-a+2+x+a-2}{ax-1}-x$＞0，
即 $\frac{x}{ax-1}$＞0，即 x（ax-1）＞0．
当a＞0时，求得不等式的解集为{x|x＜0，或x＞$\frac{1}{a}$}；当a=0时 求得不等式的解集为{x|x＜0}；
当a＜0时，求得不等式的解集为{x|x＞0，或x＜$\frac{1}{a}$}．

点评 本题主要考查二次函数的性质、韦达定理；分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．