Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+h（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和；
（3）在锐角△ABC中，若f（A）=3+$\sqrt{3}$，求f（B）+f（C）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图易知A=2，h=3，再由周期可得ω=2，再由x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取最大值5和范围可得φ=-$\frac{π}{3}$，可得解析式；
（2）由图象和对称性分类讨论可得；
（3）易得A=$\frac{π}{3}$，由三角函数公式可得f（B）+f（C）=2$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+6，又可得$B∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，由三角函数的值域可得．

解答 解：（1）由图易知A=2，h=3，
又$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{3}$），∴ω=2，
又由图知当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取最大值5，
∴2×$\frac{5π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+3；
（2）∵f（0）=f（π）=3-$\sqrt{3}$，
由图象知，要使方程f（x）=m有两个不同的实数根，有1＜m＜5且$m≠3-\sqrt{3}$，
当$1＜m＜3-\sqrt{3}$时，方程的两根关于直线$x=\frac{11π}{12}$对称，则两根之和为$\frac{11π}{6}$
当$3-\sqrt{3}＜m＜5$时，方程的两根关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称，则两根之和为$\frac{5π}{6}$；
（3）∵f（A）=3+$\sqrt{3}$，∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，∴A=$\frac{π}{3}$
∴f（B）+f（C）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2sin（2C-$\frac{π}{3}$）+6
=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）+2sin[2（$\frac{2π}{3}$-B）-$\frac{π}{3}$]+6
=sin2B-$\sqrt{3}$cos2B+2sin2B+6
=3sin2B-$\sqrt{3}$cos2B+6
=2$\sqrt{3}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+6
又由锐角△ABC及A=$\frac{π}{3}$得$B∈（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$，
∴2B-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）
∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（B）+f（C）∈（6+$\sqrt{3}$，6+2$\sqrt{3}$]

点评 本题考查三角函数的图象和解析式，涉及两角和与差的三角函数公式和三角函数的对称性，属中档题．