Question

6．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边．已知tanB=$\frac{3}{4}$，且b=2．
（1）当a=$\frac{5}{3}$时，求角A的大小；
（2）求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出sinB=$\frac{3}{5}$，由正弦定理可求角A的大小；
（2）△ABC周长=2+$\frac{10}{3}$sinA+$\frac{10}{3}$sinC，再求△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）由题意，sinB=$\frac{3}{5}$，cosB=$\frac{4}{5}$，
∵a=$\frac{5}{3}$，b=2，
∴由正弦定理可得$\frac{\frac{5}{3}}{sinA}=\frac{2}{\frac{3}{5}}$，
∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a＜b，
∴A＜B，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（2）由正弦定理可得$\frac{2}{\frac{3}{5}}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴a=$\frac{10}{3}$sinA，c=$\frac{10}{3}$sinC，
∴△ABC周长=2+$\frac{10}{3}$sinA+$\frac{10}{3}$sinC=2+$\frac{10}{3}$sinA+$\frac{10}{3}$sin（A+B）
=2+6sinA+2cosA=2+2$\sqrt{10}$sin（A+θ），
∴△ABC周长的最大值为2+2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．