Question

16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}$b=2asinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理可得：$\sqrt{3}sinB=2sinAsinB$，又sinB≠0，解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，结合△ABC是锐角三角形，即可得A的值．
（Ⅱ）化简可得sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），求得范围$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，可得sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}b=2asinB$根据正弦定理可得：$\sqrt{3}sinB=2sinAsinB$，（2分）
又∵sinB≠0，
∴解得$sinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（4分）
∵△ABC是锐角三角形，
∴$A=\frac{π}{3}$（6分）
（Ⅱ）∵sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），…（8分）
又∵△ABC锐角三角形，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}}\right.$，
∴$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$．…（10分）
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴sinB+sinC∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．