Question

10．如图，在正四面体ABCD中，点E为BC中点，点F为AD中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 可考虑用空间向量求异面直线AE与CF所成角的余弦值，取一组空间基底为{$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CD}$}，用这组基底分别表示出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$，可设正四面体的棱长为1，这样即可求出$|\overrightarrow{AE}|，|\overrightarrow{CF}|$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$，从而根据$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$求出$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞$，这样便可得到异面直线AE与CF所成角的余弦值．

解答 解：$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}）$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$；
设正四面体的棱长为1，则$|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{CF}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}$$+\frac{1}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CA}}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$；
$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=-\frac{2}{3}$；
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 考查用空间向量求异面直线所成角余弦值的方法，等边三角形的中线也是高线，直角三角形的边角关系，以及向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，弄清异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．