Question

11．如图A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形，若A点的坐标为（x，y），计∠COA=α．
（1）若A点的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求$\frac{si{n}^{2}α+sin2α}{co{s}^{2}α+cos2α}$的值；
（2）求|BC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），且C（1，0），|BC|² =2-2cos（α+$\frac{π}{3}$）．再根据α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|²的取值范围．

解答 解：（1）∵A点的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），0＜α＜$\frac{π}{2}$
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{si{n}^{2}α+sin2α}{co{s}^{2}α+cos2α}$=$\frac{si{n}^{2}α+2sinαcosα}{3co{s}^{2}α-1}$=20．
（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），
∵△AOB为正三角形，
∴B点的坐标为（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），且C（1，0），
∴|BC|²=[cos（α+$\frac{π}{3}$）-1]²+sin²（α+$\frac{π}{3}$）=2-2cos（α+$\frac{π}{3}$）．
而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$），∴cos（α+$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
∴|BC|²的取值范围是（2，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．