Question

3．已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求不等式f（x）＜x+1的解集；
（2）若a+b=1，f（x）-f（x+1）＞$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法即可求不等式f（x）＜x+1的解集；
（2）求出$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$的最大值，将不等式恒成立转化为解绝对值不等式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x-1|．
∴不等式f（x）＜x+1等价为|2x-1|＜x+1，
若x+1≤0，即x≤-1时，不等式不成立，
则x＞-1，此时不等式进行平方得4x²-4x+1＜x²+2x+1，
即3x²-6x＜0即x（x-2）＜0，
解得0＜x＜2，
故不等式的解集为（0，6）．
（2）∵若a+b=1，$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$=（$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$）（a+b）≥（a+b）²=1当且仅当a=b时取等号，
∴要使f（x）-f（x+1）＞$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b}$对任意正实数a，b恒成立，
则f（x）-f（x+1）＞1，
即|2x-1|-|2x+1|＞1，
若x＞$\frac{1}{2}$，不等式等价为2x-1-2x-1＞1即-2＞1不成立，
若-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，不等式等价为-2x+1-2x-1＞1即-4x＞1成立，解得x＜-$\frac{1}{4}$，此时-$\frac{1}{2}$≤x＜-$\frac{1}{4}$，
若x＜$\frac{1}{2}$，不等式等价为-2x+1+2x+1＞1即2＞1成立，此时x＜$\frac{1}{2}$，
综上x＜-$\frac{1}{4}$，
即实数x的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的性质是解决本题的关键．