Question

3．已知函数f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值
（2）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义，化简整理，由恒成立思想可得a=0；
（2）由题意可得，x∈[0，+∞）时，不等式x²+2x-1+2|x-（a+1）|-4|x-a|≥0恒成立，再分①当0≤x≤a时、②当x≥a+1、③当a＜x＜a+1时三种情况，分别求得a的范围，再取交集，即为所求．

解答 解：（1）由函数y=f（x）为偶函数可知，
对任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）²-2|-x-a|=x²-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|对任何x恒成立，
平方得：4ax=0对任何x恒成立，
而x不恒为0，则a=0；  
（2）将不等式f（x-1）≤2f（x），
化为（x-1）²-2|x-1-a|≤2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x²+2x-1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
①当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为 x²+4x+1-2a≥0，
对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]为单调递增，
只需g（x）_min=g（0）=1-2a≥0，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$；                   
②当 a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x²-4x+1+6a≥0，
对a＜x≤a+1上恒成立，由①可知0＜a≤$\frac{1}{2}$，
则h（x）=x²-4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，
只需h（x）_min=h（a+1）=a²+4a-2≥0 得：a≤-$\sqrt{6}$-2或a≥$\sqrt{6}$-2，
即$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$；
③当 x＞a+1时，将不等式（*）可化为x²+2a-3≥0对x＞a+1恒成立
则t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞） 为单调递增，
由②可知$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$都满足要求．
综上实数a的取值范围为：$\sqrt{6}$-2≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查分段函数的单调区间的求法和二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题