Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，求证：$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）设c=（0，1），若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=c，求α，β的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的平方即为模的平方，化简整理，结合向量垂直的条件，即可得证；
（2）先求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，根据条件即可得到$\left\{\begin{array}{l}cosα=-cosβ\\ sinα=1-sinβ.\end{array}$，两边分别平方并相加便可得到sinβ=$\frac{1}{2}$，进而得到sinα=$\frac{1}{2}$，根据条件0＜β＜α＜π即可得出α，β．

解答 解：（1）证明：由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，即（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{b}$²=2，
又因为$\overrightarrow{a}$²=$\overrightarrow{b}$²=|$\overrightarrow{a}$|²=|$\overrightarrow{b}$|²=1．
所以2-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
故$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）因为$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），
所以$\left\{\begin{array}{l}cosα+cosβ=0\\ sinα+sinβ=1.\end{array}$，
即$\left\{\begin{array}{l}cosα=-cosβ\\ sinα=1-sinβ.\end{array}$，
两边分别平方再相加得1=2-2sinβ，
∴sinβ=$\frac{1}{2}$，sinα=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜β＜α＜π，
∴α=$\frac{5π}{6}$，β=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量坐标的加法、减法运算，根据向量坐标求向量长度，向量夹角余弦的坐标公式，以及根据三角函数值求角．