Question

6．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{23}{9}$]
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，-3]
• D． （-3，$\frac{23}{9}$）

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²在（1，3）上为“凹函数”，所以f″（x）＞0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{1}{20}$x⁵-$\frac{1}{12}$mx⁴-2x²得，f″（x）=x³-mx²-4，
∵f（x）为区间（1，3）上“凹函数”，
∴有f″（x）=x³-mx²-4＞0在区间（1，3）上恒成立，
∴m＜x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在区间（1，3）上恒成立，
设y=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$，则y′=1+$\frac{8}{{x}^{3}}$＞0，
∴y=x-$\frac{4}{{x}^{2}}$在区间（1，3）上单调递增，
∴m≤1-4=-3，
故选：C．

点评 本题考查函数的导数与不等式恒成立问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义），考查知识迁移与转化能力，属于中档题．