Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos（π+C）+2b=c．
（1）求角A的大小；
（2）若cos（$\frac{3π}{2}$-C）+2sin（π-B）=0，且a=$\sqrt{3}$，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，余弦定理化简已知可求$cosA=\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）利用诱导公式，正弦定理化简等式可得c=2b，又由余弦定理可求b，c的值，理由勾股定理即可判断△ABC的形状．

解答 （本题满分12分）
解：（1）在△ABC中，由2acos（π+C）+2b=c，
可得：-2acosC+2b=c．即：$-2a（\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}）+2b=c$，
化简得b²+c²-a²=bc，即：$cosA=\frac{1}{2}$，
又因为：A∈（0，π），
所以：$A=\frac{π}{3}$．…6分
（2）△ABC的形状为直角三角形，理由如下：
由$cos（\frac{3π}{2}-C）+2sin（π-B）=0$，得-sinC+2sinB=0，即c=2b，
又由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA，
将a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，c=2b 代入，可得：3=b²+4b²-2b²，
解得 b=1，c=2，即a²+b²=c²，
即△ABC的形状为直角三角形，得证．…12分

点评 本题主要考查了诱导公式，余弦定理，正弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．