Question

12．给出定义：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①点（k，0）是y=f（x）的图象的对称中心，其中k∈Z；
②y=f（x）的定义域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是②③．

Answer 1

分析 ①根据f（2k-x）与f（x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于点（k，0）（k∈Z）对称；
②根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；
③再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；
而由②的结论，易判断函数y=f（x）在 （$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．

解答 解：①∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≤x≤m+\frac{1}{2}}\\{1，m-\frac{1}{2}＜x＜m}\end{array}\right.$，
∴点（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的图象的对称中心；故①错；
②令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故②正确，
③，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④x=-$\frac{1}{2}$时，m=-1，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
x=$\frac{1}{2}$时，m=0，则f（ $\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（ $\frac{1}{2}$），则函数y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函数错误，
故答案为：②③

点评 本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．