Question

已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.

 

Answer 1

（1）；（2）或。

【解析】

试题分析：(1)显然动点的轨迹满足抛物线的定义，故用定义去求轨迹方程；（2）法一：由题意知，故设直线FD的方程为，与抛物线方程联立可得点的横坐标，再由抛物线的定义求出，把直线的方程与抛物线方程联立，再由弦长公式求出的长，是用来表示的，然后令，可得关于的方程，从而求出的值；法二：同法一一样先求出点的坐标，再把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出两点的横坐标和与积， 又因为四边形FABD是平行四边形，所以，由此可得两点的横坐标的关系，结合韦达定理得到的结论找到一个关于的方程，

解方程即可，需根据点的坐标进行分情况讨论。

试题解析：（1）依题意，动点P的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线,

所以动点P的轨迹C的方程为

（2）解法一：因为，故直线FD的方程为,

联立方程组消元得：，

解得点的横坐标为或 , 由抛物线定义知或

又由 消元得：。

设，，则且,

所以

因为FABD为平行四边形，所以 所以或，

解得或，代入成立。

（2）解法二：因为，故直线FD的方程为

联立方程组消元得：，解得或

故点或.

1）当时，设，

联立方程组消元得（*）

根据韦达定理有①， ②

又因为四边形是平行四边形，所以，将坐标代入有 ③

代入①有，，再代入②有

整理得此时（*）的判别式,符合题意.

2）当时，同理可解得。

考点：（1）抛物线的定义；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）弦长公式的应用；（4）向量加法的平行四边形法则；（5）韦达定理的应用。