Question

已知函数f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

（Ⅰ）求f（x）的定义域；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）设α的锐角，且tan

α

2

=

1

2

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（I）要使函数有意义需2sinx≠0，进而求得x的范围，确定函数的定义域．
（II）利用二倍角公式对函数f（x）的解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质确定函数f（x）的值域．
（III）先利用二倍角公式，通过tan

α

2

=

1

2

，求得tanα，进而利用同角三角函数基本关系求得sinα和cosα，进而求得f（α）的值．

解答：解：（I）由2sinx≠0，
得x≠kπ，（k∈Z），
所以f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
（II）当x≠kπ，（k∈Z）时
f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

=

2sinxcosx+2sin2x

2sinx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
所以f（x）的值域为{y|-

2

≤y≤

2

，且y≠±1}．
（III）因为α是锐角，且tan

α

2

=

1

2

，
所以tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

4

3

，
从而sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
故f(α)=sinα+cosα═

7

5

．

点评：本题主要考查了三角函数中恒等变换的应用，两角和公式，二倍角公式及同角三角函数基本关系的应用．考查了学生对三角函数基本公式的掌握．