Question

如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E、F分别为CD、PB的中点.

(1)求证:EF⊥平面PAB;

(2)设AB=BC,求AC与平面AEF所成的角的大小.

Answer 1

(1)证明:如图,连结EP,∵PD⊥底面ABCD,DE在平面ABCD内,

∴PD⊥DE.又CE=ED,PD=AD=BC,

∴Rt△BCE≌Rt△PDE.

∴PE=BE.

∵F为PB中点,

∴EF⊥PB.

由三垂线定理得PA⊥AB.

∴在Rt△PAB中,PF=AF.

又PE=BE=EA,

∴△EFP≌△EFA.

∴EF⊥FA.

∵PB、FA为平面PAB内的相交直线.∴EF⊥平面PAB.

(2)解:不妨设BC=1,则AD=PD=1,

AB=,PA=,AC=,

∴△PAB为等腰直角三角形,且PB=2,F为其斜边中点,BF=1,且AF⊥PB.

∵PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直.

∴PB⊥平面AEF.

连结BE交AC于G,

作GH∥BP交EF于H,

则GH⊥平面AEF.

∠GAH为AC与平面AEF所成的角.

由△EGC∽△BGA,可知EG=GB,EG=EB,AG=AC=.

由△EGH∽△EBF,可知GH=BF=.

∴sin∠GAH=.

∴AC与平面AEF所成的角为arcsin.