Question

设数列{a_n}的前n项和为，已知a₁=1，，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{b_n}的前项和为T_n，n∈N^*证明：T_n＜2．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，两式相减得，
a_n+1=2a_n+1，两边加上1得出a_n+1+1=2（a_n+1），
又S₂=2S₁+1，a₁=S₁=1，∴a₂=3，a₂+1=2（a₁+1）
所以数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，首项a₁+1=2，
数列{a_n+1}的通项公式为a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ-1，
∴b_n===
T_n=
T_n=
两式相减得T_n=
T_n=2（）=2＜2．
分析：（Ⅰ）由，得当n≥2时，S_n=2S_n-1+n，两式相减得，a_n+1=2a_n+1，构造等比数列{a_n+1}并求其通项公式，再求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）b_n===，利用错位相消法求和．
点评：本题主要考查数列通项公式求解：利用了a_n与Sn关系以及构造法．形如a_n+1=pa_n+q递推数列，这种类型可转化为a_n+1+m=4（a_n+m）构造等比数列求解．还考查错位相消法求和．