Question

化简并作图：x=

1

t

，y=

1

t t2-1

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：函数的性质及应用

分析：由x=

1

t

，可得t=

1

x

．代入y=

1

t t2-1

可得：y=

x|x|

1-x2

=

x2 1-x2 ，0＜x＜1 -x2 1-x2 ，-1＜x＜0

．再利用三角函数代换：令x=sinθ，当θ∈(0，

π

2

)，则y=f（θ）=

sin2θ

cosθ

=

1

cosθ

-cosθ；当θ∈(-

π

2

，0)，则y=f（θ）=-

sin2θ

cosθ

=cosθ-

1

cosθ

．画出图象即可．

解答： 解：∵x=

1

t

，∴t=

1

x

．代入y=

1

t t2-1

可得：y=

x|x|

1-x2

=

x2 1-x2 ，0＜x＜1 -x2 1-x2 ，-1＜x＜0

．
令x=sinθ，当θ∈(0，

π

2

)，则y=f（θ）=

sin2θ

cosθ

=

1

cosθ

-cosθ；当θ∈(-

π

2

，0)，则y=f（θ）=-

sin2θ

cosθ

=cosθ-

1

cosθ

．
图象如图所示：

点评：本题考查了曲线的参数方程、三角函数代换及其单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．