Question

7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1，过C₁的左顶点引C₁的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{16}$

Answer 1

分析 双曲线C₁：左顶点A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），过点A与渐近线y=$\sqrt{2}$x平行的直线方程为y=$\sqrt{2}$x+1，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．

解答 解：双曲线C₁：2x²-y²=1，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$-y²=1左顶点A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
渐近线方程y=±$\sqrt{2}$x，
过点A与渐近线y=$\sqrt{2}$平行的直线方程为y=$\sqrt{2}$（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
即y=$\sqrt{2}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{2}x}\\{y=\sqrt{2}x+1}\end{array}\right.$，得x=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，y=$\frac{1}{2}$
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积：S=$\frac{1}{2}$|OA|•|y|=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故选：C

点评 本题考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，属于基础题．