Question

17．设D=$\sqrt{{{（{x-a}）}^2}+{{（{lnx-\frac{a^2}{4}}）}^2}}+\frac{a^2}{4}$+1．（a∈R），则D的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 S=（x-a）²+（lnx-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²（a∈R），其几何意义为两点（x．lnx），（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）的距离的平方，由y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，得k=$\frac{1}{{x}_{1}}$，由点（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）在曲线y=$\frac{1}{4}$x²上，得k=$\frac{1}{2}$x₂，令f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，则D（x）=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$+g（x₂）+1，而g（x₂）+1是抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的点到准线y=-1的距离，从而D可以看作抛物线上的点（x₂，g（x₂））到焦点距离和到f（x）=lnx上的点的距离的和，D的最小值是点F（0，1）到f（x）=lnx上的点的距离的最小值．

解答 解：S=（x-a）²+（lnx-$\frac{{a}^{2}}{4}$）²（a∈R），其几何意义为：
两点（x．lnx），（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）的距离的平方，
由y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，∴k=$\frac{1}{{x}_{1}}$
点（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$）在曲线y=$\frac{1}{4}$x²上，
∴y′=$\frac{1}{2}$x，∴k=$\frac{1}{2}$x₂，
令f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
则D（x）=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）]^{2}}$+g（x₂）+1，
而g（x₂）+1是抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的点到准线y=-1的距离，
即抛物线y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$上的点到焦点（0，1）的距离，
则D可以看作抛物线上的点（x₂，g（x₂））到焦点距离和到f（x）=lnx上的点的距离的和，
即|AF|+|AB|，
由两点之间线段最短，得D的最小值是点F（0，1）到f（x）=lnx上的点的距离的最小值，
由点到直线上垂线段最短，这样就最小，
即取B（x₀，lnx₀），
则${f}_{'}（{x}_{0}）•\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=-1，垂直，
则$ln{x}_{0}-1=-{{x}_{0}}^{2}$，解得x₀=1，
∴F到B（1，0）的距离就是点F（0，1）到f（x）=lnx上的点的距离的最小值，
∴D的最小值为|DF|=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最小值的求法，考查导数、抛物线、两点间距离、点到直线距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．